Geometria Riemanniana 

Geometria Riemanniana, a.a. 2023/2024,  Corso di Laurea Magistrale in Matematica.

Orario lezioni: Lunedì 15:00-17:00 aula G, Mercoledì 08:00-10:00 aula G.

Testo consigliato: Riemannian Geometry, M. P. do Carmo,  Math. Theory Appl. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.

Altri testi utili:  S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, "Riemannian Geometry"; J. M. Lee, "Introduction to Riemannian Manifolds";  P. Petersen "Riemannian Geometry" (terza edizione).

Orario di ricevimento: Mercoledì 10:00-12:00.

Diario delle lezioni:

28/02/2024, 08:00-10:00. Introduzione al corso. Varietà topologiche, definizioni ed esempi. Atlanti differenziabili, strutture differenziabili e definizione di varietà differenziale. Esempio della sfera.

04/03/2024, 15:00-17:00. Spazio proiettivo reale come esempio di varietà differenziale. Funzioni e applicazioni differenziabili. Rango di un'applicazione differenziabile. Immersioni, inclusioni differenziabili e submersioni.  Un'immersione iniettiva definita su una varietà compatta è un'inclusione differenziabile (con dimostrazione). Esempi di immersioni iniettive che non sono inclusioni differenziabili. Descrizione locale di immersioni e submersioni. Ogni immersione è localmente un'inclusione differenziabile. Diffeomorfismi locali.

06/03/2024, 08:00-10:00. Sottovarietà: definizione e principali proprietà. Spazio tangente: definizione come spazio vettoriale delle derivazioni sullo spazio dei germi delle funzioni differenziabili in un punto. Costruzione di una base a partire da una carta locale. Descrizione dello spazio tangente mediante curve differenziabili. Differenziale di una mappa. Definizione dello spazio cotangente.

11/03/2024, 15:00-17:00. Definizione di fibrato vettoriale. Fibrato tangente. Campi Vettoriali, definizione e principali proprietà.  Fibrato cotangente.

13/03/2024, 08:00-10:00. Definizione di metrica Riemanniana. Metrica pull-back mediante un'immersione. Prodotti di varietà Riemanniane. Esempi: La metrica euclidea su R^n, la sfera S^n e il toro piatto T^n.

18/03/2024, 15:00-17:00. Esistenza di metriche Riemanniane. Varietà Riemanniane ottenute come quozienti. Metrica indotta da S^m sullo spazio proiettivo. Campi vettoriali lungo una curva. Lunghezza di un segmento di curva. Varietà orientabili.

20/03/2024, 08:00-10:00. Forma di volume riemanniana e misura (volume) di un sottoinsieme misurabile. Connessioni affini: definizione e prime proprietà.

27/03/2024, 08:00-10:00. Simboli di Christoffel. Derivazione di campi vettoriali lungo una curva. Campi paralleli: esistenza ed unicità. Connessioni affini compatibili con la metrica: definizione e caratterizzazione equivalente.

03/04/2024, 08:00-10:00.  Connessioni simmetriche. Connessione di Levi-Civita. Formula di Koszul. Simboli di Christoffel della connessione di Levi-Civita.

08/04/2024, 15:00-17:00. Geodetiche: definizioni e prime proprietà. Flusso di un campo vettoriale.

10/04/2024, 08:00-10:00. Geodetiche in R^n. Campo vettoriale geodetico e flusso geodetico. Omogeneità delle geodetiche e definizione della mappa esponenziale.

15/04/2024, 15:00-17:00. La mappa esponenziale è un diffeomorfismo in un intorno di 0. Lemma di Gauss.

17/04/2024, 08:00-10:00.  Geodetiche radiali e proprietà minimizzanti delle geodetiche radiali.

22/04/2024, 15:00-17:00. Intorni totalmente normali. Tensore di curvatura: definizioni e prime proprietà. Identità di Bianchi.

24/04/2024, 08:00-10:00.  Proprietà di simmetria del tensore di curvatura. Espressione in coordinate locali. Curvature sezionali: definizione e prime proprietà.

29/04/2024, 15:00-17:00.  Le curvature sezionali determinano il tensore di curvatura. Curvature sezionali costanti e tensore di curvatura. Tensore di Ricci e curvatura scalare.  Definizione e proprietà di base dei tensori di ordine (r,s). Esempi.

06/05/2024, 15:00-17:00. Campi di Jacobi: definizione, esempi in curvatura sezionale costante e proprietà elementari. I campi di Jacobi come campi associati alla variazione di una geodetica. Formula di Taylor con resto di Peano per il quadrato della norma di un campo di Jacobi che verifica J(0)=0. 

08/05/2024, 08:00-10:00.  Campi di Jacobi, curvatura e geodetiche. Punti coniugati: definizione ed interpretazione come punti critici della mappa esponenziale. Ulteriori proprietà dei campi di Jacobi.

13/05/2024, 15:00-17:00. Varietà Riemanniane non estendibili. Varietà Riemanniana complete.  Funzione distanza indotta da una metrica Riemanniana. Teorema di Hopf-Rinow.

15/05/2024, 08:00-10:00.  Dimostrazione del teorema di Hopf-Rinow. Corollari e conseguenze. Varietà complete con curvatura sezionale non-positiva non hanno punti coniugati.

20/05/2024, 15:00-17:00. Il teorema di Cartan-Hadamard.

22/05/2024, 08:00-10:00. Variazione, energia e formula della variazione prima dell'energia.

27/05/2024, 15:00-17:00. Le geodetiche come punti critici del funzionale energia. Formula per la variazione seconda di una geodetica.

29/05/2024, 08:00-10:00. Teorema di Bonnet-Myers e conseguenze.

AVVISO 1: La lezione di Lunedì 25/03/2024 è annullata.

AVVISO 2: Modalità d' esame. L'esame consiste in una prova scritta contenente sia  esercizi presi  dalle esercitazioni assegnate lungo il corso che da esercizi nuovi. La prova orale è facoltativa.

Primo appello: 24/06/2024, Aula E (Matematica), dalle 14:30 alle 17:00. Orali il 09/07/2024.

Secondo appello: 11/07/2024, Aula Vito Volterra (Matematica), dalle 09:30 alle 12:00. Orali il 16/07/2024.

E' possibile sostenere lo scritto al primo appello e l'orale al secondo appello. Non è possibile sostenere lo scritto nella sessione di giugno-luglio e l'orale in una sessione successiva.

Terzo appello: 02/09/2024, Aula G (Matematica), dalle 14:30 alle 17:00. Orali 10/09/2024.

Quarto appello: 16/09/2024, Aula E (Matematica), dalle 14:30 alle 17:00. Orali 26/09/2024, ore 10:00.

E' possibile sostenere lo scritto al terzo appello e l'orale al quarto appello. Non è possibile sostenere lo scritto nella sessione di settembre e l'orale in una sessione successiva.

Quinto appello: 13/01/2025.