Istituzioni di Matematica 1 Canale 1 (Chimica) A.A. 2024-2025

ISTITUZIONI DI MATEMATICA I (a.a. 2024-25, Canale 1) Corso di Laurea Triennale in Chimica

Orario lezioni: le lezioni si svolgeranno  secondo il seguente orario:

Lunedì       12:00-14:00, Aula V, Edificio Castelnuovo (Matematica)

Martedì      10:00-12:00, Aula V, Edificio Castelnuovo (Matematica)

Mercoledì   08:00-10:00, Aula V, Edificio Castelnuovo (Matematica)

Giovedì       14:00-16:00, Aula V, Edificio Castelnuovo (Matematica)

Venerdì       12:00-14:00, Aula V, Edificio Castelnuovo (Matematica)

Inizio delle lezioni:  Lunedì 30 settembre.

Testo consigliato:  M.BRAMANTI, C.D.PAGANI, S.SALSA, Matematica - Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, seconda edizione, Zanichelli.

Ricevimento: Giovedì 10:30-12:30 nel mio ufficio (stanza 120, dipartimento di Matematica).

Diario delle lezioni

30/09/2024, 12:00-14:00.  Insiemi e loro proprietà, prime definizioni. Principio di induzione. Cardinalità dell'insieme delle parti.

01/10/2024, 10:00-12:00. Funzioni tra insiemi: iniettività e suriettività. Sommatorie e loro proprietà elementari. Esempi. Progressione geometrica e sua somma. Fattoriale.

02/10/2024, 08:00-10:00. Proprietà dei coefficienti binomiali. Il triangolo di Tartaglia e la formula di Newton. Nozione di gruppo ed esempi. Nozione di campo ed esempi. I numeri razionali formano un campo ordinato. 

03/10/2024, 14:00-16:00. Numeri reali, numeri irrazionali. Radice quadrata di 2 è irrazionale. Disuguaglianza triangolare e conseguenze. Intervalli di R. Insiemi illimitati, limitati, limitati superiormente (o inferiormente). Massimo e minimo di un insieme. Insieme dei maggioranti ed estremo superiore. Insieme dei minoranti ed estremo inferiore. Esempi.

07/10/2024, 12:00-14:00. Potenze, esponenziali e logaritmi. Definizione e proprietà elementari delle funzioni trigonometriche. Costruzione del campo dei numeri complessi.

08/10/2024, 10:00-12:00. Unità immaginaria. Forma algebrica dei numeri complessi. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: il piano di Gauss. Coniugato e modulo di un numero complesso. Esempi.

09/10/2024, 08:00-10:00. Proprietà del modulo e del coniugio. Forma algebrica del quoziente di due numeri complessi. Equazioni con numeri complessi, esempi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Argomento di un numero complesso. Esempi.

10/10/2024, 14:00-16:00. Moltiplicazione e divisione di numeri complessi in forma trigonometrica. Formula di De Moivre. Esempi ed applicazioni.

14/10/2024, 12:00-14:00. Formula di Eulero. Radici n-esime di un numero complesso. Enunciato e dimostrazione.  Radici n-esime dell'unità. Esempi. Equazioni algebriche di secondo grado a coefficienti complessi. Esempi.

15/10/2024, 10:00-12:00. Teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato).  Successioni, definizioni ed esempi. Successioni limitate, limitate inferiormente/superiormente. Esempi. Successioni convergenti. Definizione di limite di una successione. Esempi.

16/10/2024, 10:00-12:00. Unicità del limite (con dimostrazione). Le successioni che hanno limite sono limitate (con dimostrazione). Successioni divergenti e successioni irregolari. Esempi. Successioni infinitesime. Successioni monotone: definizioni ed esempi.

17/10/2024, 14:00-16:00. Una successione monotona ha sempre limite (senza dimostrazione). Limite di una progressione geometrica. Il prodotto tra una successione infinitesima ed una limitata è una successione infinitesima . Limite della somma, del prodotto e del quoziente di due successioni (con dimostrazione, solo somma e prodotto). Teorema della permanenza del segno. Esempi.

21/10/2024, 12:00-14:00. Teorema del confronto (con dimostrazione). Esempi ed applicazioni. Successioni infinite ed infinitesime dello stesso ordine, di ordine differente, non confrontabili. Esempi ed applicazioni. Il numero e come limite della successione (1+1/n)^n (senza dimostrazione).

22/10/2024, 10:00-12:00. Altri esempi di limite di successione. Introduzione del concetto di serie. Definizione della successione delle somme parziali. Definizione di serie convergente/divergente/irregolare.  Esempi di serie convergenti: la serie associata ad una progressione geometrica. La serie armonica è divergente (con dimostrazione).

23/10/2024, 08:00-10:00.  La serie di Mengoli. Serie telescopiche: definizione ed esempi. Il termine generale di una serie convergente tende a zero (con dimostrazione). Serie a termini non negative: definizioni e proprietà elementari. Criterio del confronto con dimostrazione.  Applicazioni ed esempi del criterio del confronto.

24/10/2024, 14:00-16:00. Criterio del confronto asintotico (con dimostrazione) e variazioni (senza dimostrazione). Applicazioni ed esempi. Criterio della radice con dimostrazione. Esempi e applicazioni.

28/10/2024, 12:00-14:00. Criterio del rapporto (con dimostrazione). Esempi e applicazioni. Serie con termini di segno qualunque. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice (con dimostrazione). Esempi.

29/10/2024, 10:00-12:00. Serie a termini di segno alternato. Il criterio di Leibniz. Esempi. Funzioni reali di variabile reale: definizione, dominio codominio, immagine, grafico. Funzioni limitate, limitate superiormente, limitate inferiormente.

30/10/2024, 08:00-10:00. Funzioni pari e dispari. Funzioni periodiche. Definizioni ed esempi. Composizione di funzioni. Definizione di punto di accumulazione. Esempi. Definizione di limite di una funzione.

04/11/2024, 12:00-14:00.  Esempi. Limite destro e limite sinistro. Il limite esiste se e solo se i limiti destro e sinistro esistono e coincidono. Esempi. Il limite esiste se e solo se esiste per successioni. Esempi di limiti che non esistono. Proprietà fondamentali dei limiti: teorema del confronto, permanenza del segno, limite della somma/prodotto/quoziente di due funzioni.  Esempi. Forme indeterminate. Esempi.

05/11/2024, 10:00-12:00. Limiti per x che tende a +/- infinito di polinomi e funzioni razionali. Limiti notevoli.

06/11/2024, 08:00-12:00. Esempi di limiti notevoli. Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Esempi.

11/11/2024, 12:00-14:00. Gerarchia degli infiniti. Esempi. Funzioni continue: definizioni, proprietà di base ed esempi. Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato. Il teorema degli zeri. 

12/11/2024, 10:00-12:00. Teorema di Weierstrass. Esempi per mostrare che le ipotesi del teorema sono necessarie. Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Definizione di derivata prima.

13/11/2024, 08:00-12:00. Interpretazione geometrica della derivata prima. Retta tangente al grafico di una funzione. Derivata destra e derivata sinistra. Derivata di funzioni elementari: funzione potenza, esponenziale, logaritmo, seno, coseno etc, etc. La derivabilità implica la continuità (con dimostrazione).

18/11/2024, 12:00-14:00. Definizioni ed esempi di punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale. Algebra delle derivate: formule per la derivata della somma, del prodotto e del quoziente di due funzioni derivabili (con dimostrazione). Esempi. Formula per la derivata di una funzione composta. 

19/11/2024, 10:00-14:00. Esempi e applicazioni della formula per la derivata di una funzione composta.  Formula per la derivata della funzione inversa. Esempi. Definizione di massimi locali e minimi locali. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Definizione di punto stazionario.

20/11/2024, 08:00-10:00. Teorema di Lagrange (con dimostrazione).  Interpretazione geometrica del teorema di Lagrande ed esempi. Teorema (test di monotonia) con dimostrazione. Una funzione derivabile in un intervallo è costante se e solo ha derivata nulla. Ricerca di massimi e minimi di una funzione in un intervallo chiuso e limitato. Esempi.

26/11/2024, 10:00-12:00. Esonero.

27/09/2024, 08:00-10:00. Teorema di de l'Hopital. Esempi. Applicazioni del teorema di de l'Hopital alla "gerarchia degli infiniti". Limite della derivata e derivabilità: teorema con dimostrazione. Esempi.

28/11/2024, 14:00-16:00.  Derivate di ordine superiore. Esempi. Definizione di convessità/concavità e convessità/concavità per tangenti. Esempi. Una funzione derivabile due volte in (a,b) è convessa in (a,b) se e solo se è convessa per tangenti se e solo se la sua derivata seconda è non negativa. Esempi. Punti flesso, definizione, esempi e proprietà. Studio del grafico di una funzione. Esempi di studio del grafico di una funzione.

03/12/2024, 10:00-1200.  Definizione di o-piccolo. Proprietà ed esempi. Formula di MacLaurin all'ordine n con resto di Peano (con dimostrazione). Esempi di sviluppo di Taylor all'ordine n in zero con resto di Peano.  Applicazioni al calcolo dei limiti.

04/12/2024, 08:00-10:00. Applicazioni della formula di Taylor allo studio di punti critici. Formula di Taylor all'ordine n con resto secondo Lagrange (senza dimostrazione). Alcune applicazioni della formula di Taylor con resto secondo Lagrange:approssimazione di e. Differenziale in un punto. Definizione di integrale definito in [a,b] di una funzione limitata come limite delle somme di Cauchy-Riemann. Interpretazione geometrica dell'integrale definito come area del trapezioide individuato dal grafico di f in [a,b]. Le funzioni continue in [a,b] così come le funzioni monotone e limitate in [a,b] sono integrabili (senza dimostrazione).

05/12/2024, 14:00-16:00. Esempi di funzioni non integrabili: la funzione di Dirichlet. Proprietà dell'integrale definito: linearità, additività rispetto all'intervallo di integrazione, positività e monotonia (senza dimostrazione). Teorema della media (con dimostrazione). Definizione di valor medio di f in [a,b]. Definizione di primitiva e proprietà elementari. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Esempi. Definizione di integrale indefinito. Esempi di integrale indefinito di alcune funzioni elementari. Integrazione per parti. Esempi.

10/12/2024, 10:00-12:00. Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali fratte. Esempi.

11/12/2024, 08:00-10:00.  Integrazione di funzioni razionali fratte. Altri esempi. Integrali impropri ed integrali su intervalli illimitati. Proprietà ed esempi.

12/12/2024, 14:00-16:00. Integrali su intervalli illimitati. Applicazioni alla convergenza di serie numeriche. Funzioni integrali. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Introduzione alle equazioni dfferenziali.

17/12/2024, 10:00-12:00.  Equazioni differenziali lineari di ordine 1. Equazioni complete ed equazioni omogenee. L'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di ordine 1 completa si ottiene aggiungendo una soluzione particolare all'integrale generale della corrispondente equazione omogenea. Costruzione dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata e costruzione di una soluzione particolare dell'equazione completa mediante il metodo di variazione della costante. Esempi. Esempi ed esercizi su equazioni lineari di ordine 1. Problema di Cauchy. 

18/12/2024, 08:00-10:00.  Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Definizione e generalità. Struttura dell'integrale generale. Le soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine 2 in forma normale costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione 2. Risoluzione di equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Esempi.

19/12/2024, 14:00-16:00. Ricerca di soluzioni particolari di equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza quando il termine noto è una funzione polinomiale. Metodo di somiglianza quando il termine noto è una funzione esponenziale. Esempi. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili: definizione, risoluzione ed esempi. 

AVVISO 1. Data primo esonero: 26/11/2024 Aula V, dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo, 10:15-11:45. E' obbligatorio presentarsi muniti di un documento di identità. Informazioni e regolamento nel pdf sottostante "Regolamento esonero".

AVVISO 2. Tutoraggio di Istituzioni di Matematica 1 Canale 1,(Febbraio 2025) Date, orario ed aule: Aula B, Dipartimento di Chimica, dalle 14:30 alle 17:30,  giovedì 06/02/2025 e giovedì 13/02/2025.

AVVISO 3. L'esercitazione di venerdì 13/12/2024 verrà regolarmente svolta dal prof. Bandiera.

AVVISO 4. Ultima lezione del corso (prof. Bandiera), 12:00-14:00, Aula V, Edificio Castelnuovo (Matematica).

AVVISO 5.  Informazioni esami. Per sostenere l'esame è obbligatorio prenotarsi su infostud e presentarsi alla prova scritta con un documento di riconoscimento.

La prova scritta completa dura 2 ore e 30 minuti, l'esonero 2 ore. Durante la prova potrete consultare un foglio con appunti (due facciate) sul quale potete annotare quello che volete. Tutto il resto è vietato.

L'orale è obbligatorio nei seguenti casi: se il voto dello scritto è superiore a 26 o se viene deciso dal docente. Salvo diversa disposizione da parte del docente è facoltativo se il voto dello scritto è inferiore a 27.

Primo appello: 17/01/2025 dalle 09:30 alle 12:00, Aula Federigo Enriques (Dipartimento di Matematica). Cercate di presentarvi per le 09:15. Orali: 29/01/2025.

Secondo appello: 14/02/2024 dalle 09:30 alle 12:00, Aula Vito Volterra (Dipartimento di Matematica). Cercate di presentarvi per le 09:15. Orali: 20/02/2025.

E' possibile sostenere lo scritto al primo appello e l'orale al secondo appello. Non è possibile sostenere lo scritto nella sessione d'esami invernale e l'orale in una sessione d'esami successiva.