Matematica III SEFA A.A. 2019/2020

A.A. 2019/2020, primo semestre. Matematica III (teoria ed esercitazioni), corso di laurea in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni, 56 ore.

Orario: Mercoledi 16-18 aula III, Venerdì 14-17 aula III.

Orario di ricevimento: Giovedì 11-13, CU036 studio 12, oppure su appuntamento.

Libro di Testo: M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa. "MATEMATICA. Calcolo infinitesimale e algebra lineare". Seconda edizione. Zanichelli.

Diario delle lezioni

Mercoledì 25/09, 16:00-18:00. Richiami sulla nozione di limite e continuità in R. Esempi di funzioni che hanno limite ma non non sono continue. Richiami su alcune definizioni e proprietà di R^n: spazio vettoriale, prodotto scalare euclideo, norma, distanza e loro proprietà. Elementi di topologia di R^n: insieme aperti, chiusi, frontiera, chiusura ed interno. Esempi.

Venerdì 27/09, 14:00-15:00. Funzioni reali di più variabili: definizione, dominio, grafico, insiemi di livello ed esempi. Definizione di limite. Teoremi di unicità del limite, di somma, prodotto e quoziente (solo enunciati). Esempi. Funzioni vettoriali di più variabili: definizione, dominio ed esempi. Definizione di limite. Definizione di successione in R^n, esempi e definizione di limite. Il limite di una successione esiste se e solo se tutte le sue componenti hanno limite; una funzione ha limite se e solo se ha limite per ogni successione (enunciati senza dimostrazione).

15:00-17:00. Esercizi sui limiti.

Mercoledì 02/10, 16:00-18:00. Dimostrazione del seguente enunciato: Il limite di una funzione vettoriale esiste se e solo se esiste il limite di ciascuna componente.

Funzioni continue: definizione con epsilon/delta e definizione mediante il limite. Prima il caso di una funzione scalare di più variabili e poi quello generale di una funzione vettoriale di più variabili.

La somma, il prodotto, il quoziente (quando definito) e la composizione di funzioni continue sono ancora funzioni continue (enunciati senza dimostrazioni). Esempi: c_1x_1+...+c_nx_n è continua comunque si fissino c_1,...,c_n. Altri esempi di funzioni continue derivanti dal fatto che c_1x_1+...+c_nx_n è continua e dalle proprietà sopra elencate della somma/prodotto/quoziente e composizione.

Venerdì 04/10, 14:00-15:00. Definizione di insieme connesso (per archi), enunciato del teorema degli zeri. Controesempi per mostrare come le ipotesi di connessione e continuità della funzione siano necessarie. Enunciato del teorema di Weierstrass. Caratterizzazione di aperti e chiusi mediante funzioni continue; l'intersezione o l'unione di un numero finito di aperti/chiusi resta aperto/chiuso, rispettivamente (enunciati senza dimostrazione). Esempi su come applicare queste proprietà. Derivate parziali. Richiami sulla definizione di derivata di una funzione reale di una variabile reale. Definizione, nel caso n=2, di derivata parziale rispetto ad x (rispetto ad y) in un punto (x_0,y_0). Alcuni esempi.

15:00-17:00. Esercizi sui limiti con coordinate polari.

Mercoledì 09/10, 16:00-18:00. Derivate parziali, definizioni ed esempi. Calcolo delle derivate di f(x,y)=x(y)^{1/3}. Definizione di gradiente. L'esistenza di derivate parziali non implica la continuità. Esempi.

Venerdì 11/10, 14:00-15:00. Definizione di funzione differenziabile sia mediante il limite che mediante la nozione di o-piccolo. Una funzione differenziabile in un punto è continua nel medesimo punto (enunciato e dimostrazione). Esempi di funzioni che hanno punti dove sono continue ma non differenziabili. La continuità delle derivate parziali implica la differenziabilità (enunciato e dimostrazione). Esempi su come usare questo teorema per concludere che una funzione sia differenziabile. Esempio per mostrare che il teorema fornisce solo una condizione sufficiente ma non necessaria: la funzione f(x,y)=x(y)^{1/3} è differenziabile in (0,0).

15:00-17:00. Esercizi sui limiti.

Mercoledì 16/10, 16:00-18:00. Definizione di piano tangente in punto. Il piano tangente in un punto esiste (ed è unico) se e solo se la funzione è differenziabile in quel punto (enunciato e dimostrazione). Esempi. Derivate direzionali, definizioni, ed esempi. Le derivate parziali come casi particolari di derivate direzionali. Formula del gradiente (enunciato e dimostrazione).

Venerdì 18/10, 14:00-15:00. Formule per il calcolo delle derivate di funzioni composte (enunciati senza dimostrazione). Esempi. Significato geometrico del gradiente: se non è nullo e la funzione è differenziabile in quel punto indica la direzione in cui il tasso di accrescimento è massimo. Derivate seconde, definizioni ed esempi.

15:00-17:00. Esercizi su derivate parziali, differenziabilità e derivate direzionali.

Mercoledì 23/10, 16:00-18:00. Teorema di Schwarz con dimostrazione. Matrice Hessiana, esempi.

Venerdi 25/10, 14:00-15:00. Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano (enunciato e dimostrazione) . Esempi.

15:00-17:00. Esercizi su funzioni differenziabili e formula di Taylor.

Mercoledì 30/10, 16:00-18:00. Estensione al caso di funzioni di più di due variabili dei concetti visti per funzioni in due variabili (enunciati senza dimostrazioni). Esempi. Ripasso sulle forme quadratiche.

Mercoledì 06/11, 16:00-18:00. Definizione di massimi e minimi (locali ed assoluti). Teorema di Fermat con dimostrazione. Definizione dei punti critici come i punti che annullano il gradiente. Condizione sufficiente del secondo ordine: prima nel caso generale e poi nel caso di due variabili. Dimostrazione di una parte del teorema: se la matrice Hessiana è definita positiva/negativa allora il punto è minimo/massimo locale. Esempi. Equazione e funzioni implicite, esempi. Enunciato il teorema di Dini in 2 variabili.

Venerdì 08/11, 14:00-15:00. Teorema di Dini in due variabili (enunciato senza dimostrazione). Esempi ed applicazioni. Enunciato del teorema di Dini in 3 variabili. Massimi e minimi vincolati, esempi. Enunciato del teorema dei moltiplicatori di Lagrange in due variabili.

15:00-17:00. Esercizi su massimi e minimi locali.

Mercoldedì 13/11. Sospensione della didattica.

Venerdì 15/11, 14:00-16:00. Prova autovalutativa.

Mercoledì 20/11, 16:00-18:00. Dimostrazione del teorema dei moltiplicatori di Lagrange in due variabili. Funzioni vettoriali di più variabili: differenziabilità e matrice Jacobiana. Esempi. Formula per la matrice Jacobiana della composizione di due funzioni vettoriali. Definizione del differenziale di una funzione vettoriale. Enunciato del teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel caso generale.

Venerdì 22/11, 14:00-15:00. Definizione di funzione vettoriale regolare. Enunciato del teorema di invertibilità locale. Esempi. Variazione dell'area di un rettangolo infinitesimo mediante una funzione vettoriale f.

15:00-17:00. Esercizi sui moltiplicatori di Lagrange.

Mercoledì 27/11, 16:00-18:00. Integrale doppio di una funzione continua su un rettangolo. Definizione di domini x-semplici, domini y-semplici e domini regolari. Esempi. Integrale doppio su un dominio semplice, formula di iterazione. Integrale doppio su un dominio regolare. Esempi.

Venerdì 22/11, 14:00-15:00. Definizione di area di un dominio regolare. Proprietà dell'integrale doppio: linearità, monotonia etc etc. Formula di cambiamento di coordinate. Esempi. Calcolo della Jacobiana per le coordinate polari.

15:00-17:00. Esercizi su integrali doppi.

Mercoledì 04/12, 16:00-18:00. Integrali doppi generalizzati. Esempi. Integrali tripli. Domini semplici e regolari in R^3, formule di iterazione. Esempi.

Venerdì 06/12. Definizione di volume di un dominio regolare in R^3. Proprietà dell'integrale triplo: linearità, monotonia etc etc. Teorema di cambiamento di variabili. Coordinate cilindriche e sferiche. Esempi.

15:00-17:00. Esercizi su integrali doppi e tripli.

Mercoledì 11/12, 16:00-18:00. Teorema di derivazione sotto il segno di integrale, enunciato (senza dimostrazione) ed esempi. Arco di curva continua e arco di curva regolare: definizioni ed esempi. Vettore tangente, lunghezza di un arco di curva regolare, integrale di linea di prima specie. Esempi.

Venerdì 13/12. Sospensione lezione causa maltempo.

Mercoledì 18/12, 16:00-17:00. Superfici in forma parametrica, superfici regolari, versore normale. Area di una superficie ed integrale di superficie di una funzione continua. Esempi.

17:00-18:00. Esercizi su integrali di superficie.

Venerdì 20/12, 14:00-17:00. Esercizi di ripasso.

Modalità d'esame:

La prova scritta dura 2 h 30 min. Gli studenti possono portarsi un foglio (due facciate) da consultare sul quale hanno precedentemente scritto tutto ciò che ritengono possa essere loro utile. Non è possibile consultare altro.

La prova orale è obbligatoria se allo scritto si prende un voto maggiore di 26. Salvo diversa disposizione da parte del docente la prova orale è facoltativa se allo scritto si prende un voto minore di 27 (in questo caso si può confermare il voto preso allo scritto). Per l'accesso alla prova orale è necessario prendere almeno 18.

E' possibile sostenere l'esame scritto al primo appello e (l'eventuale orale) al secondo appello.

Calendario degli esami:

1° appello: 20 gennaio 2020 Aule 1(Gini) e 2 a Statistica dalle 10 alle 13. Gli orali si terranno nella settimana 27/01/2020-31/01/2020.

2° appello: 4 febbraio 2020 Aule 1 e 2 a Matematica (dip. Guido Castelnuovo) dalle 12:00 alle 15:00. Matricole dispari in aula 1, matricole pari in aula 2. I posti a sedere verranno assegnati.

Le aule sono a pianoterra, diametralmente opposte all'ingresso principale. Gli orali si terranno nella settimana 17/02/2020-21/02/2020.

3° appello: 30 giugno 2020 ore 10:00-11:30. Le prove scritte della sessione estiva (30 giugno e 13 Luglio) si svolgeranno in modalità telematica. Verranno adottate le linee guida della Sapienza ed utilizzeremo le piattaforme GoogleMeet/Exam.net.

Iscrivetevi agli appelli Infostud come avete fatto finora. Inoltre, provvedete a caricare un vostro documento su Infostud procedendo alla verifica dell'identità con la segreteria studenti. Per lo svolgimento della prova, sarà necessario avere a disposizione un computer e un cellulare, entrambi dotati di webcam, microfono, altoparlanti, e dei tradizionali strumenti (carta, penna). Verificate che il vostro cellulare legga i codici QR e/o installate un'app che li riconosca. Se avete problemi di qualsiasi tipo, contattatemi con qualche anticipo per posta elettronica.

Attenzione: La prenotazione per il 3° appello chiude il 22 giugno.

Qua sotto riporto il testo del messaggio che ho inviato via Infostud in data 16/06/2020 agli studenti già iscritti alla prova del 30/06/2020.

Cari tutti,

contavamo di provare tutti i sistemi informatici una settimana prima dell'esame scritto vero e proprio. L'incontro sarebbe martedì 23 giugno alle 11:30 per provare

-la piattaforma google.meet

-il sistema exam.net

-la nostra capacità di darvi un pdf con il testo dell'esame

-la vostra capacità di fare la scansione del vostro elaborato

Vi invieremo con qualche anticipo, attraverso la posta di Infostud, le credenziali per partecipare alla riunione.

Bisognerà anche verificare che il computer che contate di utilizzare non accenda il salvaschermo a sorpresa, perché questo potrebbe bloccare tutto il sistema.

Questo incontro di prova non è, ovviamente, obbligatorio e serve solamente a fare in modo che l'appello vero vada il più liscio possibile. Dal 22 giugno saranno chiuse le prenotazioni Infostud, quindi se conoscete qualcuno che non si sia ancora iscritto, ma voglia partecipare, avvisatelo.

Vi ricordiamo che gli appelli estivi saranno a distanza, sia per lo scritto che (salvo futura diversa indicazione) per l'orale, con le consuete regole per gli orali che trovate sulle pagine del corso. La prova scritta sarà però più breve sia come tempo (un'ora e mezzo?) che come numero/consistenza degli esercizi. Il primo appello scritto sarà il 30 giugno dalle 10 alle 11:30. Gli orali inizieranno una volta conclusa la correzione degli scritti.

4° appello: 13 luglio 2020, ore 14:30-16:00. Valgono le stesse regole del terzo appello. Se non le conoscete già le trovate nel pdf qua sotto "Istruzioni esame scritto a distanza".

Gli orali si svolgeranno nei seguenti giorni: giovedì 16/07, venerdì 17/07 o lunedì 20/07. Non è possibile sostenere l'orale a settembre.

5° appello: 10 settembre 2020, ore 10:00-11:30. La prova si svolgerà in modalità telematica. Valgono le stesse regole del 3° e 4° appello. In particolare è obbligatoria la prenotazione su Infostud.

Gli orali si svolgeranno lunedì 14/09/2020.

Risultati primo appello SEFA

Matricola Voto

1870617 < 18

1869483 < 18

1873245 ritirato

1848451 < 18

1850424 ritirato

1852379 < 18

1785684 < 18

1821240 < 18

1861771 < 18

1867951 < 18

1873951 < 18

1844410 26

1869809 20

1841973 25

Risultati secondo appello SEFA

I risultati sono riportati nel pdf "risultati secondo appello SEFA". E' possibile vedere i compiti lunedì 17/02 dalle 10:30 alle 12:30 e dalle 14:30 alle 16:30 o martedì 18/02 la mattina dalle 10:30 alle 12:30.

Gli orali si terranno dal 18/02 (pomeriggio) al 21/02.

Gli studenti che devono (voto>26) o vogliono (17<voto<27) sostenere l'orale sono invitati a contattarmi via email il prima possibile per fissare giorno e ora.

Gli studenti con 17<voto<27 che non intendono sostenere l'orale sono invitati a comunicarmi se intendono accettare o rifiutare il voto.