Istituzioni di Matematica 1 Canale 1. 2021/2022.

ISTITUZIONI DI MATEMATICA I (a.a. 2021-22, Canale 1) Corso di Laurea Triennale in Chimica

Orario lezioni: le lezioni si svolgeranno in Aula III (Edificio Caglioti CU032) secondo il seguente orario:

Lunedì 8h-10h

Martedì 10h-12h

Mercoledì 9h-11h

Giovedì 11h-13h

Venerdì 9h-11h

Le lezioni del lunedì e del venerdì saranno dedicate allo svolgimento di esercizi. L'orario effettivo sarà 08:30-10:00 (il lunedì) e 09:30-11:00 (il venerdì).

Inizio delle lezioni: lunedí 27 settembre 2021

Didattica blended: lezioni in presenza e contemporaneamente in streaming.

Testo consigliato: M.BRAMANTI, C.D.PAGANI, S.SALSA, Matematica - Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Zanichelli.

Ricevimento: Giovedì 14:00-16:00 nel mio ufficio (stanza 120 a Matematica).

Diario delle lezioni

27/09/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Insiemi e loro proprietà, prime definizioni. Principio di induzione. Cardinalità dell'insieme delle parti. Funzioni tra insiemi: iniettività e suriettività.

28/09/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Sommatorie e loro proprietà elementari. Progressione geometrica e sua somma. Nozioni di calcolo combinatorio: permutazioni e combinazioni. Proprietà dei coefficienti binomiali. Il triangolo di Tartaglia e la formula di Newton.

29/09/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Nozione di gruppo. Il gruppo simmetrico e simmetrie di poligoni regolari. Nozione di campo ed esempi. I numeri razionali formano un campo ordinato. Irrazionalità di radice di 2. I numeri reali: costruzione naive e prime proprietà. Modulo di un numero reale e disuguaglianza triangolare.

30/09/2021, Dr. Enrico Fatighenti. La topologia della retta reale. Massimi e minimi, estremo superiore e inferiore. Assioma di Dedekind e proprietà di Archimede. Densità dei numeri razionali nei numeri reali. Postulato degli intervalli incapsulati e costruzione di radice di 2.

01/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Esercizi.

04/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Esercizi.

05/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Numerabilità dei razionali e più che numerabilità dei numeri reali. I numeri complessi: introduzione formale e interpretazione geometrica. I complessi sono un campo non ordinato. Prime nozioni: parte reale, parte immaginaria, coniugato. Il modulo di un numero complesso e sue proprietà. Disuguaglianza triangolare per i numeri complessi (con dimostrazione).

06/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Rappresentazione di un numero complesso in coordinate polari: il modulo e l'argomento di un numero complesso. Formula di Eulero (senza dimostrazione). Prodotto, quoziente ed elevamento a potenza di un numero complesso in coordinate polari. Determinazione esplicita delle radici dell'equazione z^n+a. Il teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Cenni di spazi vettoriali: definizione ed esempi elementari.

07/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Insiemi di vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Il concetto di base e proprietà elementari. Applicazioni lineari. Derivazione e integrazione di polinomi come operatori lineari. Le successioni: successioni limitate inferiormente e superiormente. Successioni convergenti e loro limite.

08/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Esercizi.

11/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Esercizi.

12/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Unicità del limite. Esempi di calcolo di limiti. Successioni divergenti. Successioni né convergenti né divergenti. Successioni monotone. Ogni successione monotona crescente ammette sempre limite, potenzialmente infinito (senza dimostrazione). Il limite di q^n al variare di q. Proprietà algebriche dei limiti (con dimostrazione). Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Teorema del confronto o del sandwich (con dimostrazione).

13/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Operazioni algebriche su successioni divergenti. Le forme indeterminate. Esempi di calcolo di limite. La definizione di e. Stime asintotiche e ordini di infinito. Una successione converge se e solo se è di Cauchy. Criterio di convergenza per sottosuccessioni. Il concetto di serie come limite della successione delle somme parziali. Primi esempi. Convergenza e divergenza della serie geometrica in funzione della ragione. La divergenza della serie armonica.

14/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Serie telescopiche. La convergenza della serie di Mengoli. Una serie convergente è definitivamente infinitesima. Serie a termini non negativi: i criteri di convergenza (con dimostrazione): criterio del confronto, del confronto asintotico, della radice e del rapporto. Esempi di serie convergenti: la serie iperarmonica con esponente>1. Proprietà di linearità per serie.

15/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Esercizi.

18/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Esercizi.

19/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Serie a termini alterni. Il criterio di Leibnitz (con dimostrazione). La convergenza assoluta. Se una serie converge assolutamente, allora converge (con dimostrazione). Esempi e controesempi. Il concetto di funzione. Funzioni di variabile reale a valori reali.

20/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Dominio, codominio e immagine di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive. Grafico di una funzione. Non tutte le curve piane sono esprimibili come funzioni (anche localmente). Funzioni limitate, funzioni pari e dispari, funzioni monotone, funzioni periodiche. Il concetto di limite di funzione. Unicità del limite, e possibile non esistenza.

21/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. L'esempio di sin(1/x). Definizione di continuità di una funzione. Alcuni tipi di discontinuità e asintoti. Funzioni elementari: potenze, polinomi, funzioni razionali, funzione di Heaviside, esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche. Operazioni elementari sui grafici. La composizione di funzioni. Funzioni inverse.

22/10/2021, Dr. Enrico Fatighenti. Esercizi.

26/10/2021, Dr. Francesco Bei. Definizione di punto di accumulazione. Esempi. Definizione di limite (epsilon/delta). Esempi. Limite destro e limite sinistro. Il limite esiste se e solo se limite destro e limite sinistro esistono e coincidono. Il limite esiste se e solo se esiste per successioni. Esempi di limiti che non esistono.

27/10/2021, Dr. Francesco Bei. Proprietà fondamentali dei limiti: teorema del confronto, permanenza del segno, limite della somma/prodotto/quoziente di due funzioni. Limite della composizione di due funzioni. Esempi. Forme indeterminate. Esempi. Limiti per x che tende a +/- infinito di polinomi e funzioni razionali.

28/10/2021, Dr. Francesco Bei. Limiti notevoli (con dimostrazione). Definizione di asintoto verticale, orizzontale, obliquo. Esempi. Definizione di crescita sopralineare, lineare, sottolineare. Esempi.

29/10/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

02/11/2021, Dr. Francesco Bei. Gerarchia degli infiniti. Funzioni continue: definizioni, proprietà di base ed esempi. Funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato. Il teorema degli zeri (con dimostrazione).

03/11/2021, Dr. Francesco Bei. Teorema di Weierstrass. Esempi per mostrare che le ipotesi del teorema sono necessarie. Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Definizione di derivata prima. Interpretazione geometrica della derivata prima. Retta tangente al grafico di una funzione. Derivata destra e derivata sinistra.

04/11/2021, Dr. Francesco Bei. Derivata di funzioni elementari: funzione potenza, esponenziale, logaritmo, seno, coseno etc, etc. La derivabilità implica la differenziabilità (con dimostrazione). Definizioni ed esempi di punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale. Algebra delle derivate: formule per la derivata della somma e del prodotto di due funzioni derivabili (con dimostrazione).

05/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

08/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

09/11/2021, Dr Francesco Bei. Formula per la derivata del quoziente di due funzioni (con dimostrazione). Esempi. Formula per la derivata di una funzione composta (con dimostrazione). Esempi e applicazioni. Formula per la derivata della funzione inversa (con dimostrazione). Esempi.

10/11/2021, Dr. Francesco Bei. Definizione di massimi, minimi, massimi locali e minimi locali. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Definizione di punti stazionari. Esempi. Teorema di Lagrange (con dimostrazione). Interpretazione geometrica ed esempi. Teorema (test di monotonia) con dimostrazione. Una funzione derivabile in un intervallo è costante se e solo ha derivata nulla.

11/11/2021, Dr. Francesco Bei. Ricerca di massimi e minimi di una funzione in un intervallo chiuso e limitato. Esempi. Applicazioni allo studio della monotonia di una successione. Esempi. Teorema di de l'Hopital. Esempi. Applicazioni alla "gerarchia degli infiniti".

12/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

15/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

16/11/2021, Dr. Francesco Bei. Limite della derivata e derivabilità: teorema con dimostrazione. Esempi. Derivate di ordine superiore. Esempi. Definizione di convessità/concavità e convessità/concavità per tangenti. Esempi. Una funzione derivabile due volte in (a,b) è convessa in (a,b) se e solo se è convessa per tangenti se e solo se la sua derivata seconda è non negativa. Esempi. Punti flesso, definizione, esempi e proprietà. Studio del grafico di una funzione.

17/11/2021. Esonero.

18/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esempi di studio del grafico di una funzione. Definizione di o-piccolo. Proprietà ed esempi. Formula di MacLaurin all'ordine n con resto di Peano (con dimostrazione). Formula di Taylor all'ordine n con resto di Peano. Esempi di sviluppo di Taylor all'ordine n in zero con resto di Peano.

19/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

22/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

23/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esempi di sviluppo di Taylor all'ordine n con resto di Peano. Applicazioni al calcolo dei limiti. Applicazioni della formula di Taylor allo studio di punti critici. Formula di Taylor all'ordine n con resto secondo Lagrange (con dimostrazione nel caso n=1). Applicazioni: approssimazione di e; formula di Taylor e convessità per tangenti.

24/11/2021, Dr Francesco Bei. Differenziale in un punto. Definizione di integrale definito in [a,b] di una funzione limitata come limite delle somme di Cauchy-Riemann. Interpretazione geometrica dell'integrale definito come area del trapezioide individuato dal grafico di f in [a,b]. Le funzioni continue in [a,b] così come le funzioni monotone e limitate in [a,b] sono integrabili (senza dimostrazione). Esempi di funzioni non integrabili: la funzione di Dirichlet. Proprietà dell'integrale definito: linearità, additività rispetto all'intervallo di integrazione, positività e monotonia (senza dimostrazione).

25/11/2021, Dr. Francesco Bei. Teorema della media (con dimostrazione). Definizione di valor medio e valor efficace di f in [a,b]. Definizione di primitiva e proprietà elementari. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Esempi. Definizione di integrale indefinito. Esempi di integrale indefinito di alcune funzioni elementari.

26/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

29/11/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

30/11/2021, Dr. Francesco Bei. Integrazione per sostituzione. Esempi. Integrazione di alcune funzioni razionali. Esempi.

01/12/2021, Dr. Francesco Bei. Integrazione di alcune funzioni razionali. Esempi. Integrazione per parti. Esempi. Integrale definito di funzioni con al più un numero finito di discontinuità "a salto". Integrazione di funzioni continue in [a,b) ma illimitate: definizioni, esempi e proprietà.

02/12/2021, Dr. Francesco Bei. Integrale generalizzato di funzioni definite su intervalli illimitati: definizione, esempi e proprietà. Definizione di funzione integrale. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione).

03/12/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

06/12/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

07/12/2021, Dr. Francesco Bei. Funzioni di classe C^k. Esempi. Introduzione alle equazioni differenziali. Definizioni ed esempi. Equazioni differenziali lineari di ordine 1. Equazioni complete ed equazioni omogenee. L'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di ordine 1 completa si ottiene aggiungendo una soluzione particolare all'integrale generale della corrispondente equazione omogenea (con dimostrazione).

09/12/2021, Dr. Francesco Bei. Risoluzione di equazioni lineari del primo ordine. Integrale generale dell'equazione omogenea associata e costruzione di una soluzione particolare dell'equazione completa mediante il metodo di variazione della costante. Esempi.

10/12/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

13/12/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

14/12/2021, Dr. Francesco Bei. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Definizione e generalità. Struttura dell'integrale generale. Esistenza ed unicità del problema di Cauchy per equazioni in forma normale (senza dimostrazione). Le soluzioni di un'equazione differenziale lineare omogenea di ordine 2 in forma normale costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione 2 (con dimostrazione).

15/12/2021, Dr. Francesco Bei. Risoluzione di equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti in forma omogenea. Ricerca di soluzioni particolari di equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee: metodo di somiglianza quando il termine noto è una funzione polinomiale.

16/12/2021, Dr. Francesco Bei. Metodo di somiglianza quando il termine noto è una funzione esponenziale. Esempi. Metodo di variazione delle costanti. Esempi. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili: definizione, risoluzione ed esempi.

17/12/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

21/12/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

22/12/2021, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

11/01/2022, Dr. Francesco Bei. Esercizi.

Avviso 1: regolamento per la prova d'esonero del 17/11/2021 nel pdf sottostante.

Avviso 2 (nuova versione): Tutoraggio mese di luglio, Dr. Sergio Moroni.

31 Gennaio, ore 11-13, canale 1 Aula G, edificio Cannizzaro link https://meet.google.com/ubd-gypy-npk

1 Febbraio, ore 11-13, canale 2 Aula G, edificio Cannizzaro link https://meet.google.com/ubd-gypy-npk

2 Febbraio, ore 11-13, canale 3 Aula H, edificio Cannizzaro link https://meet.google.com/jxm-qamp-dem

3 Febbraio, ore 11-13, canale 4 Aula H, edificio Cannizzaro link https://meet.google.com/jxm-qamp-dem

7 Febbraio, ore 11-13, canale 5 Aula G, edificio Cannizzaro link https://meet.google.com/ubd-gypy-npk

7 Giugno, ore 15:15-18:00, Aula G (Cannizzaro), link https://meet.google.com/ubd-gypy-npk

4 Luglio, ore 09:00-12:00 (solo da remoto), link https://uniroma1.zoom.us/j/9877298212?pwd=cnp1MDNQUGdHNE42YjlKSThPL3loQT09 ID riunione: 987 729 8212 Passcode: 619691

Avviso 3: Sotto trovate i risultati dell'esonero e le soluzioni degli esercizi. Per chi volesse vederli o avesse questioni, lunedì 22/11/2021 riportiamo in classe i compiti.

Avviso 4: Ultima lezione martedì 11/01/2022, Aula III, Edificio Caglioti.

Avviso 5: Informazioni esami. Per sostenere l'esame è obbligatorio prenotarsi su infostud e presentarsi alla prova scritta con un documento di riconoscimento.

La prova scritta completa dura 2 ore, l'esonero 90 minuti. Durante la prova potrete consultare un foglio con appunti (due facciate) sul quale potete annotare quello che volete. Tutto il resto è vietato.

L'orale è obbligatorio nei seguenti casi: se il voto dello scritto è superiore a 26 o se viene deciso dal docente. Salvo diversa disposizione da parte del docente è facoltativo se il voto dello scritto è inferiore a 27.

Primo appello: 18/01/2022 dalle 11:30 alle 13:30, Aula 1 (Edificio Caglioti). Cercate di presentarvi per le 11:15. Orali: 26-27-28/01/2022.

Secondo appello: 09/02/2022 dalle 10:30 alle 12:30, Aula 3 (Edificio Caglioti). Cercate di presentarvi per le 10:15. Orali: 16-17-18/02/2022.

E' possibile sostenere lo scritto al primo appello e l'orale al secondo appello. Non è possibile sostenere lo scritto nella sessione d'esami invernale e l'orale in una sessione d'esami successiva.

Appello straordinario: 08/04/2022 dalle 14:30 alle 16:30. L'appello è riservato solamente agli aventi diritto. Consultare il pdf sottostante "Categorie aventi diritto all'appello straordinario" per maggiori informazioni. Per sostenere l’appello straordinario è necessario inviare una certificazione all’indirizzo bei@mat.uniroma1.it attestante l’appartenenza ad una delle categorie aventi diritto entro e non oltre il 05/04/2022. In caso di mancata certificazione la prenotazione verrà annullata.

Terzo appello: 09/06/2022 dalle 10:30 alle 12:30, Aula 3 (Edificio Caglioti). Cercate di presentarvi per le 10:15. Orali: 23/06/2022.

Quarto appello: 07/07/2022 dalle 10:30 alle 12:30, Aula 3 (Caglioti). Cercate di arrivare per le 10:15. Orali: 18-19/07/2022, dalle 14:30.

Quinto appello: 15/09/2022 dalle 10:30 alle 12:30, Aula B (Cannizzaro). Cercate di arrivare per le 10:15. Orali: 21/09/2022.

E' possibile sostenere lo scritto al terzo appello e l'orale al quarto appello. Non è possibile sostenere lo scritto nella sessione d'esami di giugno/luglio e l'orale nella sessione di settembre.

Appello straordinario: 14/11/2022 dalle 16:30 alle 18:30. L'appello è riservato solamente agli aventi diritto. Consultare il pdf sottostante "Categorie aventi diritto all'appello straordinario" per maggiori informazioni. Per sostenere l’appello straordinario è necessario inviare una certificazione all’indirizzo bei@mat.uniroma1.it attestante l’appartenenza ad una delle categorie aventi diritto entro e non oltre il 09/11/2022. In caso di mancata certificazione la prenotazione verrà annullata.