Geometria Riemanniana a.a. 2024/2025

Geometria Riemanniana, a.a. 2023/2024,  Corso di Laurea Magistrale in Matematica.

Orario lezioni: Lunedì 15:00-17:00 aula G, Mercoledì 08:00-10:00 aula G.

Testo consigliato: Riemannian Geometry, M. P. do Carmo,  Math. Theory Appl. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992.

Altri testi utili:  S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, "Riemannian Geometry"; J. M. Lee, "Introduction to Riemannian Manifolds";  P. Petersen "Riemannian Geometry" (terza edizione).

Orario di ricevimento: Mercoledì 10:00-12:00.

Diario delle lezioni:

26/02/2025, 08:00-10:00. Introduzione al corso. Varietà topologiche, definizioni ed esempi. Atlanti differenziabili, strutture differenziabili e definizione di varietà differenziale. Esempio della sfera e dello spazio proiettivo reale. Funzioni e applicazioni differenziabili.

03/03/2025, 15:00-17:00.  Rango di un'applicazione differenziabile. Immersioni, inclusioni differenziabili e submersioni.  Un'immersione iniettiva definita su una varietà compatta è un'inclusione differenziabile (con dimostrazione). Esempi di immersioni iniettive che non sono inclusioni differenziabili. Descrizione locale di immersioni e submersioni. Ogni immersione è localmente un'inclusione differenziabile. Diffeomorfismi locali. Sottovarietà: definizione e principali proprietà. Spazio tangente: definizione come spazio vettoriale delle derivazioni sullo spazio dei germi delle funzioni differenziabili in un punto.

05/03/2025, 08:00-10:00. Costruzione di una base a partire da una carta locale. Descrizione dello spazio tangente mediante curve differenziabili. Differenziale di una mappa. Definizione dello spazio cotangente. Definizione di fibrato vettoriale. Fibrato tangente.

10/03/2025, 15:00-17:00. Campi Vettoriali, definizione e principali proprietà.  Fibrato cotangente. Definizione di metrica Riemanniana. 

12/03/2025, 08:00-10:00. Metrica pull-back mediante un'immersione. Prodotti di varietà Riemanniane. Esempi: La metrica euclidea su R^n, la sfera S^n e il toro piatto T^n. Esistenza di metriche Riemanniane. Varietà Riemanniane ottenute come quozienti. Metrica indotta da S^m sullo spazio proiettivo.

17/03/2025, 08:00-10:00. Campi vettoriali lungo una curva. Lunghezza di un segmento di curva. Varietà orientabili. Forma di volume riemanniana e misura (volume) di un sottoinsieme misurabile.

19/03/2025, 08:00-10:00. Connessioni affini: definizione e prime proprietà.  Simboli di Christoffel. Derivazione di campi vettoriali lungo una curva. Campi paralleli: esistenza ed unicità.

24/03/2025, 15:00-17:00. Connessioni affini compatibili con la metrica: definizione e caratterizzazione equivalente.  Connessioni simmetriche. Connessione di Levi-Civita. Formula di Koszul. Simboli di Christoffel della connessione di Levi-Civita.

26/03/2025, 08:00-10:00. Geodetiche: definizioni e prime proprietà. Flusso locale di un campo vettoriale. Geodetiche in R^n. Campo vettoriale geodetico e flusso geodetico.

31/03/2025, 15:00-17:00.  Omogeneità delle geodetiche e definizione della mappa esponenziale. Esempio in R^m.  La mappa esponenziale è un diffeomorfismo in un intorno di 0.

02/04/2025, 08:00-10:00. Lemma di Gauss. 

09/04/2025, 08:00-10:00. Interpretazione geometrica del lemma di Gauss. Geodetiche radiali e proprietà minimizzanti delle geodetiche radiali.

14/04/2025, 15:00-17:00. Intorni totalmente normali. Tensore di curvatura: definizioni e prime proprietà.

16/04/2025, 08:00-10:00. Identità di Bianchi. Proprietà di simmetria del tensore di curvatura. Espressione in coordinate locali. Curvature sezionali: definizione e prime proprietà.

23/04/2025, 08:00-10:00.  Le curvature sezionali determinano il tensore di curvatura. Curvature sezionali costanti e tensore di curvatura. Tensore di Ricci e curvatura scalare. 

AVVISO 1: Modalità d' esame. L'esame consiste in una prova scritta contenente sia  esercizi presi  dalle esercitazioni assegnate lungo il corso che da esercizi nuovi. La prova orale è facoltativa.